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Forum: "Quadratische Gleichung im Mathematikunterricht"

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Quadratische Gleichung im Mathematikunterrichtneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: marilew Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 19.05.2006 15:17:00

hallo zusammen,
ih bin momentan noch im Studium und muss einen Unterrichtsentwurf schreiben in welchem u.a. auch begründet werden soll weshalb man die quadratische Gleichng durchnimmt. Kann mr da jemand helfen??? Wäre voll lieb von euch


deswegenneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: nadine1978 Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 18.07.2006 22:26:38

. Didaktische Analyse
1.1. Struktur des Inhalts
Die quadratische Ergänzung ist normalerweise ein Zwischenschritt des Beweises der sogenannten P-Q-Formel1. Es ist dennoch sinnvoll, diesem Thema eine volle Unterrichtsstunde zu widmen, da diese Methode bis zur Oberstufe das einzige Verfahren zur Lösung von Minimierungs- aufgaben ist, das den Schülern vermittelt werden kann. Zudem stellt die quadratische Ergänzung innerhalb der kognitiven Struktur, die sich zu diesem Themenbereich bilden sollte, ein zentrales Element dar, da die - den Schü lern bisher als unabhängig erscheinenden - Gebiete "Binomische Formeln" und "Verschiebung der Normalparabel" in engen Zusammenhang gestellt werden. Somit dient die quadratische Ergänzung auch als exemplarisches Beispiel für die Anwendungsmöglichkeiten der Binomische Formeln. Hinzu kommt die Methode der - oft so bezeichneten - "Nulladdition", die in den folgenden Jahren noch häufig verwendet wird und, obwohl sie den im allgemeinen ordnenden und vereinfachenden Methoden der Mathematik scheinbar zuwiderläuft, da sie den Term zunächst verkompliziert, ein elegantes und für die Schüler sicherlich zu Beginn überraschendes Hilfsmittel bei Beweisverfahren darstellt.

Die Aufgabenstellung besteht darin, einen Term der Form x2+px+q in die Form (x+a)2+b zu bringen, aus der man den Scheitelpunkt (d.h. das Minimum bzw. Maximum der Funktion) ablesen kann. Hierzu bringt man die Gleichung zunächst auf die Form x2+2p/2 +p2/4 - p2/4 + q, indem man p2/4 addiert und dann wieder subtrahiert (Es wird also insgesamt Null addiert.). Auf die ersten drei Summanden kann nun die erste Binomische Formel angewandt werde, was zur Form (x+p/2)2-p2/4+q führt. Nach dieser Herleitung kann letzteres dann als Schema verwandt werden.

Die andere Dimension der Aufgabe (zumindest in der Form, wie das Problem hier präsentiert werden soll) besteht darin, zu erkennen, wann ein Problem zufriedenstellend gelöst ist. D.h. die Schüler sollen - ausgehend von Beispielen - selbständig zu dieser allgemeinen Darstellung finden. Dies ist eine wertvolle Vorübung für spätere Aufgabenstellungen (insbesondere im außerschulischen Bereich), in denen es keine konkreten Zielvorgaben, sondern nur noch ein zu lösendes Problem gibt und der Schüler entscheiden muß, wann er mit der Bearbeitung aufhören kann.
1.2. Vorkenntnisse der Schüler
Die Schüler müssen die Binomischen Formeln sicher anwenden können. Zudem sollten bereits einfache Übungen zum "Verschieben" der Normalparabel im zweidimensionalen orthonormalen Koordinaten- System durchgeführt worden sein. Die Hausaufgabe der vorigen Stunde sollte sich auf diese Gebiete beziehen. Eventuell ist es sinnvoll, daß Thema "Koeffizientenvergleich" vorher behandelt zu haben, da dann die "Umkehrung" der dritten Binomischen Formel leichter fallen würde; dies ist aber nicht notwendig.
1.3. Lernergebnis
Primäres Ziel ist es, daß die Schüler das erwähnte Schema anwenden können, und verstehen, warum es gültig ist. D.h. zum Ende der Stunde soll die Formel (x+p/2)2-p2/4+q an der Tafel stehen. Gleichzeitig soll aber auch die Methode der "Nulladition" verstanden werden, die häufig als Hilfsmittel bei Beweisen verwandt wird. Unterschwellig kann zudem die Erkenntnis vermittelt werden, daß auch in der Mathematik Umwege schneller zum Ziel führen können und Erfahrungswerte eine Rolle spielen (die Anwendung der Nulladition begründet sich nur aus dem Ergebnis, nicht aus einer Regel). Letztere Einsicht ist insbesondere als geistige Vorbereitung auf das unvollständige Kalkül der Integralrechnung sinnvoll. Des weiteren sollen die Schüler am Ende in der Lage sein, zu begründen, warum man die Überlegungen nicht zu einem früheren Zeitpunkt hätte beenden können, und warum das gefundene Ergebnis weitgehend zufriedenstellend ist. Wünschenswert wäre es wenn einer der Schüler aus eigenem Antrieb darauf kä me, daß Parabeln der Form cx2+px+q auch noch betrachtet werden sollten.


Du hast hier den Zweck der quadratischen Ergänzungneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: kunoschlonz Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 19.07.2006 06:09:10

erklärt, aber nicht der quadratischen Gleichung.

Zudem kann ich das nicht so ganz nachvollziehen. Als ich Schüler war konnte ich nur die quadratische Ergänzung, weil dies ein Verfahren ist, das man immer anwenden kann. Die p-q-Formel habe ich mal auswendigelernt und dann wieder vergessen.



Beispiele aus Wirtschaft und Technik:neuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: rfalio Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 19.07.2006 06:13:54

1) Bogenbrücken haben meist parabelförmige Bögen. Schau mal unter Brücke Mostar nach.
2) Eine Fluggesellschaft erwartet mehr passagiere, wenn sie den preis um einen gewissen betrag senkt, führt ebenfalls auf eine quadratische Gleichung
3) Goldener Schnitt ( siehe wikipedia) , hier liegt auch eine quadratische Gleichung zugrunde und du kriegst ne Fülle von ANregungen in dem ARtikel
rfalio


Zudem führen Quadratische Gleichungenneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: kunoschlonz Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 19.07.2006 06:24:29

zu den irrationalen Zahlen. Also z.b x² = 3 --> x = +/- Wurzel 3. Sie führen also zu einer Zahlbereichserweiterung.


quadratische gleichung anschaulichneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: photon Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 26.09.2006 10:21:08

vielleicht helfen diese links:

http://www.raikas.net/alkh1.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Khwarizmi.html

http://home.pages.at/photon/seiten/mathe.htm

mfg
photon


funktionale Zusammenhängeneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: wabami Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 26.09.2006 11:55:58

Das Thema quadratische Gleichungen steht im engen Kontext zu den quadratischen Funktionen - damit die Begründung von funktionalen Zusammenhängen heranziehbar - und ihre Nullstellen (=Lösungen zugehöriger quadr. Gleichungen) haben einen bedeutungsvollen Anwendungskontext. (siehe Beispiele von rfalio).
Außerdem besitzen die quadr. Funktionen ein Extremum. D.h. die Suche nach deren Lage (quadr. Ergänzung zur Scheitelpunktsform) ist letztendlich die Lösung eines Extremwertproblems ---> didaktische Begründung für Optimierungsaufgaben ...

Hoffe die Andeutungen helfen dir bei der Formulierung einer didaktischen Begründung!


Lösen von quadratischen Gleichungenneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: mohjo Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 18.06.2007 17:26:56

Hallo alle zusammen,

ich brauch etwas Hilfe bezüglich meiner Unterrichtsskizze. Mein Thema (Kl.9 RS) lautet Quadratische Gl. lösen , also Nullstellen ermitteln
schriftlich und rechnerisch mithilfe der PQ Formel und vll als Probe qaudratische Ergänzung.
Das Lernziel dieser Stunde sollte sein:
D>0 2 Schnittpunkte
D=0 1 Schnittpunkt
D


Ich brauche eure Hilfeneuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: kugkju Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 16.11.2012 15:30:01

Kaufmannaufgabe
könnt ihr mir helfen habe zu folgender Frage eine Frage:
"Ein Kaufmann kauft einen Tisch und einen Stuhl für 220€.
beim Verkauf macht er einen Gewinn von 60%.Beim Tisch hat er
einen Gewinn von 40% und beim Stuhl von 60%!"
Ich brauche dringend Hilfe und die Gleichung.


neuen Beitrag schreiben zur Forenübersicht   Seitenanfang
von: caldeirao Userprofil anzeigen Nachricht senden erstellt: 16.11.2012 17:01:19 geändert: 16.11.2012 17:02:07

Hast Du die Aufgabe mit eigenen Worten wiedergeben???? so kann sie nicht heißen. Oder der die LoL hat sie sehr unsauber formuliert. Ich vermute mal, dass vom Gewinn 60% auf den Stuhl und 40 % auf den Tisch gehen. Man berechnet dann 60 % von 220 €. Das Ergebnis teilt man dann im Verhältnis 2 zu 3, da 40 % 2/5 sind und 60 % 3/5 sind.

Zur anderen Frage: Jeder Wurf ist eine Parabel und man geht im Allgemeinen davon aus dass die erste Nullstelle der Abwurf ist und die 2. Nullstelle die Landung. Damit könnte man die Weite des Wurfes berechnen.

Oh ich sehe gerade dass das Forum uralt ist. Sorry


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