Nunja, die Lösung der ursprünglichen Aufgabe ist recht kompliziert.
Ein Freund EINSTEINS, der Mathematiker MOSCHKOWSKI, ging zu Einstein, als dieser krank war. Zur Unterhaltung hatte er zuhause ein Denkspiel ausgeknobelt: "Nehmen wir an, die Zeiger einer Uhr zeigen 12 Uhr an. Bei dieser Zeigerstellung könnt man die beiden Zeiger vertauschen, ohne daß die Uhr eine falsche Zeit anzeigte. Dagegen wäre das Vertauschen zu anderen Zeiten nicht möglich (bspw. 6 Uhr). Es entsteht die Frage: Wann und wie oft stehen die Uhrzeiger so, daß siche bei einem Austausch der Zeiger Stellungen ergeben, die tatsächlich möglich sind?".
Aus einem persönlichen Brief geht hervor, was danach passierte.
[Einstein]
"Ja, das ist eine passende Aufgabe für einen armen Menschen, der wegen einer Erkältung das Bett hüten muß. Die Aufgabe ist genügend interessant und nicht sehr leicht. Ich fürchte nur, daß das Vergnügen nicht lange anhält, denn ich bin schon auf den Lösungsweg gestoßen..."
Aufbauend auf der Lösung dieser Aufgabe, die Einstein ziemlich zügig im Kopf fand, erhält man Deine vereinfachte Version als Spezialfall.
Der Ansatz lautet
x/5 - x/60 = m
mit m = {m Є G | 0 ≤ m ≤ 11}
(G sei die Menge der ganzen Zahlen)
woraus sofort folgt
x = 60 * m / 11
Aus den 12 möglichen Werten für m erhalten wir demnach nicht 12, sondern nur 11 tatsächliche Zeigerstellungen, da wir bei m = 11 auf den Wert x = 60 kommen. Das heißt, beide Zeiger legen 60 Teilintervallen zurück und befinden sich erneut bei 12 Uhr. Diese Lösung gilt allerdings auch für m = 0 bzw. 0 Uhr.
Anders formuliert: Nach der Unterteilung des Ziffernblattes in 12 Uhrzeiten fällt m = 12 heraus, da m = 12 die identische Zeigerstellung bildet wie m = 0.
Also 11 mögliche Positionen der zwei Zeigen übereinander.
