Hallo,
ich muss bald im LK 12 Integralrechnung einführen und möchte nicht direkt über den Flächeninhalt einsteigen. Eher darüber, dass man die Änderung von etwas kennt (z.B. Zulauf/Ablauf von Wasser, Geschwindigkeit von...) und darüber auf den Wasserstand, den Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt kommen muss.
Wer hat Erfahrung damit?
Wie viel Schwierigkeiten haben Schüler damit, eine Verbindung zwischen Fläche und Weg herzustellen? Ist es eventuell einfacher, das Wasserbeispiel und damit die Verbindung zwischen Fläche und Volumen zu betrachten?
Gibt es außer dem Pumpspeicherwerk noch andere gute/interessante Anwendungen dazu?

Danke für eure Hilfe!

Das Pumpspeicherwerk mit Zu- und Ablauf ist das schlechteste Beispiel für den Einstieg in die und das Wesen der Integralrechnung! Integrieren heisst Ein- bzw. Zufügen oder mathematisch Summe, speziell Flächensumme. Damit entfällt erst einmal der Ablauf als Differenz! Später eine negative Fläche dazufügen hat aber nichts in der Erklärung zum Integral zu suchen!
Die Schüler verstehen bei mir am Besten, wenn ich über bekannte geometrische Flächenberechnungen (ein ganz spezielles Integral!) zu krummlinigen Seiten komme. Hier ergibt sich die Fläche eben nur aus unendlich vielen dünnen Strichen (Rechtecken) der differenziellen Stärke dx * y(Höhe).
Sehr anschaulich kann man das an den Weg-Zeit-Gesetzen der Geschwindigkeitsformen der Physik darstellen und die Schüler verstehen sofort.

ist das Integral halt schon (bei Leibniz, glaube ich) über Flächen bzw. (bei Newton) über physikalische Fragen entstanden. Viele Schüler leben allerdings im emotionalen Konflikt mit der Physik. Überlege dir, wie viele aus deinem LK auch Physik (oder gar LK?) haben. Wenn das sehr viele sind, hast du eine Fülle von Möglichkeiten.

Ich habe auch zu Beginn der Integralrechnung mehrere Beispiele mit Zufluss/ Abfluss genutzt, z.B. Gießkanne füllen oder Weinfässer (hier ist Weingegend!), das ist sehr anschaulich.
Aber sobald du es im Graphen darstellst, kommst du automatisch zur Flächenberechnung ...

Andere Idee :
Datenübertragung (Byte/s -> Programmgröße)

meiner Erfahrung nach ist es immer noch am einsichtigsten über (Grundstücks)flächen, da du hier auf die Geographiekenntnisse (Dreieck, Trapez, Rechteck - Krummlinig?) zurückgreifen kannst.
Du hast insofern recht, dass der Schritt den Schülern dann deutlich zumachen, dass nicht jedes Integral eine Fläche ist, etwas schwierig sein kann.
Aber so haben sie wenigsten das Prinzip verstanden.
Ich erkläre es danach auch gerne mit dem Weg im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm bevor ich zur eigentlichen Wirtschaftsmathematik (unser Schwerpunkt) komme.

Die Integralrechnung wurde geometrisch entwickelt.

Der mathematisch wie mathematikmethodisch sinnvollste Zugang ist die Hinführung zum zentralen Prinzip der Integralrechnung: der Satz des CAVALIERI. Der sollte ohnehin spätestens seit der 10. Klasse bekannt sein.

Schüler der 12. Klasse bringen umfangreiche Kenntnisse der Stereometrie und der darstellenden Geometrie mit. Aus dem Problem der Volumenberechnung krummlinig begrenzter Körper folgt aus dem Satz des CAVALIERI automatisch das RIEMANNsche Integral als infinitesimale Summation.

Hat Riemann das Integral gefunden oder gibt es noch andere Arten? Habe auf der Hochschule mal was von Riemann gehört, man sollte aber überflüssige Wissenschaftlernahmen in der allgemeinen Schulbildung möglichst aussen vor lassen oder zumindest und besonders bei "Sätzen" mehr den Inhalt im Namen führen! Cavallier sagt mir auch nichts. Hätte zumindest das Wesen des Sachinhaltes im Satznamen stehen müssen (Satz über den Zusammenhang von ...)! Soviel Wissenschaftler einzuprägen ist doch sinnlos!

gilt Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz.
Er wurde allerdings von einer Gruppe Mathematiker um Sir Isaac Newton des Plagiats bezichtigt.

Fest steht: der deutsche Mathematiker Riemann war´s nicht!
Der hat sich wohl eher um das bestimmte Integral verdient gemacht, indem er die Fläche unter einer Kurve innerhalb festgelegter Grenzen als Summe kleinster Rechtecke auffasste - oder so...

Und. Den Satz des Cavalieri hast du ganz sicher in der Schule(in der SEK I) benutzt als einen Beweis dafür, dass das Volumen einer Kugel dem eines gleich hohen Zylinders mit gleichem Durchmesser entspricht, aus dem ein Kegel gleicher Höhe und gleichen Durchmessers ausgeschnitten wurde.
Signore Cavalieri hat dazu Schnitte in jeweils gleicher Höhe durch beide Körper gelegt und durch simplen Flächenvergleich (sind die Flächen der Schnitte zweier Körper mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe in beliebigen Höhen gleich, so ist auch ihr Volumen gleich - so oder ähnlich hab´ich´s noch auswendig parat)
Dann wird auch klar:
V-Zylinder/V-Kugel/V-Kegel = 3/2/1
Damit bist du auch schon mit der Schulgeometrie der SEK I fast durch..

Und: Lass ddas bloß nicht den Vorgesetzten der Fachkonferenz Mathematik hören.
Ein paar Namen gehören nun mal dazu.
Die Ehre wollen wir den Erfindern wichtiger Grundlagen unserer Wissenschaften schon antun, oder?

Franzosen und Engländer haben ein Jahrhundert lang gestritten, wer die Diff.R. erfunden habe - lasst uns das nicht nachspielen!!
Newton und Leibniz kamen unabhängig voneinander darauf - und deshalb haben wir ja auch zwei Schreibweisen: f'(x) [Newton] und df/dx [Leibniz]

Beim Integral sieht es allerdings viel mehr nach Leibniz aus ...

Hat Riemann das Integral gefunden oder gibt es noch andere Arten?


Nein, ja.
Riemannintegrierbare Funktionen und das zugehörige Integral bilden den klassischen Integralbegriff in der Mathematik. Das Riemmannintegral ist das Integral, was in der Abiturstufe und in den grundlegenden Lehrveranstaltungen des Studiums gemacht wird.

Es gibt darüber hinaus "meßbare" Funktionen und "Maßräume" in der "Maßtheorie". Von dort kommt der moderne Integralbegriff der Mathematik, den Ingenieure einleitend besprechen, und den Physiker-Mathematiker gründlich beherrschen lernen.



Habe auf der Hochschule mal was von Riemann gehört


Wenn Gauß nicht alle anderen Mathematiker dermaßen genial überschatten würde, wäre Riemann definitiv ein heißer Kandidat für "die vielleicht mutigsten und einflußreichsten Ideen, die die moderne Mathematik prägten".



überflüssige Wissenschaftlernamen


Normalerweise müßte in der Schule viel, viel intensiver auf Mathematiker eingegangen werden, auch wenn einige nicht fürchterlich berühmt wurden. Mathematik lebt von ihren Autisten, ist jedoch - gerade heutzutage - Gemeinschaftswerk.



und besonders bei "Sätzen" mehr den Inhalt im Namen führen!


Lieber nicht.



Der Satz des Cavalieri fristet leider ein Schattendasein. Den Pythagoras kennt auch das letzte Frontschwein, doch für die Einführungkurse in die Analysis ist Cavalieri der anschaulichste Zugang, doch trotzde ist er unbekannt.

Abgesehen davon kann man mit Cavalieri feine geometrische Probleme lösen oder beweisen.




Franzosen und Engländer haben ein Jahrhundert lang gestritten, wer die Diff.R. erfunden habe -
lasst uns das nicht nachspielen!


Das ist noch heute ein Skandal.
Newton mit seiner komischen Fluxionsrechnung sah gegen die eleganten Differentialoperatoren und die Integralschreibweise des sächsischen Universalgenies keinen Stich. Daß er versuchte, seinen Willen durchzusetzen, war Dreistigkeit vor dem Herren, und daß auch noch, als sich die Leibnizsche Infinitesimalrechnung längst in Kontinentaleuropa etabliert hatte.



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Hallo,

ich hab mich immer gefragt, wieso Weg-Zeit-Diagramme nicht förmlich nach dem Integral schreien. Gleichförmige Bewegung (v Konstant):

s = v * t

gleichmäßig beschleunigte:

s = v * t / 2 (Diagramm aufmalen, Dreieck)

Wie sähe es nun bei ...
-> Zwischenvarianten aus? Ein Stück gleichmäßig beschleunigt, ein Stück gleichförmig, vielleicht auch mal ein Stück "krumm" beschleunigt und gebremst?

Damit kommt man zwar eher auf die "immer ein Stück Dreieck" (im Gegensatz zu den Riemannschen Rechtecken), aber immerhin auf die Fläche.

Oder Feder, da gibts auch Arbeit=Weg*Federkraft/2.

Notfalls nicht auf "Vorwissen" zurückgreifen, sondern die paar km/h selber noch mal vorleiten.

12.-Klässler können doch sicher was mit 120 km/h anfangen, oder?

Marco.