Die leistungsschwächeren Kinder neigen dazu, beim Einstieg in das Dividieren die Reihen durchzugehen, was bei Aufgaben mit großen Ausgangszahlen wie 56 : 7 aufwendig und für das Automatisieren des Dividierens eher ungeeignet ist.
Ich animiere die Kinder deshalb dazu, den unbekannten Faktor in der Umkehraufgabe zu raten und zu überprüfen. Das grundsätzliche Vorgehen verstehen die Kinder gut, aber sie tun sich mit dem Raten schwer. Oft dauert es lange, bis sie eine Ratezahl angeben und loslegen. Das gilt besonders, wenn die Ausgangszahl der Division groß ist.

Früher hatte ich den Kindern empfohlen, es als Erstes mit der 5 zu versuchen, wenn sie keine bessere Idee haben. Jetzt habe ich eine bessere Lösung gefunden für Ausgangszahlen bei der Division ab 21:

Für Ausgangszahlen größer als 42 stimmt die Ratezahl mit dem tatsächlichen Ergebnis überein.
Für Ausgangszahlen zwischen 32 und 42 ist die Ratezahl um 1 zu groß. Ausnahmen: 36 : 4 und 36 : 9. In diesen Fällen stimmt die Ratezahl mit dem Ergebnis überein.
Für Ausgangszahlen zwischen 21 und 30 kann die Ratezahl um bis zu 2 zu groß sein.

Die Ratezahl liegt also bei Aufgaben mit großer Ausgangszahl, mit denen die Kinder die meisten Probleme haben, nahe am Ergebnis oder stimmt sogar mit diesem überein.

Möglichkeit der Verbesserung:
Für Ausgangszahlen von 42 oder weniger erniedrigt man die obige Ratezahl um 1. Diese verbesserte Ratezahl weicht dann höchstens um 1 vom wahren gesuchten Faktor ab und liefert in sehr vielen Fällen direkt das korrekte Ergebnis. Dass die Erniedrigungsgrenze 42 das Doppelte der Startgrenze 21 ist, erleichtert die Zusatzregel.

Mathematischer Hintergrund:

Das ist auch der Hintergrund für die in einem anderen Beitrag dargestellte Einmaleins-Berechnung für Aufgaben mit großen Zahlen (Ausgangszahlen zusammengenommen 11 oder mehr), die Kindern mit extrem schlechter Merkfähigkeit helfen kann, die nicht in der Lage sind, das komplette Einmaleins auswendig zu lernen:

Der Trick ist genial.

Aber: Er verhindert eher das richtige Abschätzen und Einschätzen von Größenordnungen der Zahlen.

Normalerweise lässt man beim schriftl. Dividieren zuerst einmal nach bestimmten Kriterien (durch Überschlagen, also aufrunden und abrunden oder die Hälfte finden usw.) einschätzen, in welchem Größenbereich die Zahl liegen könnte. Dann probiert man und gerät über Versuch und Irrtum zu richtigen Zahl. Diese Strategie dauert u.U. zwar länger, aber bringt wesentlich mehr für die Zahlenvorstellung. Lieber lasse ich weniger Rechnungen machen, dafür aber so.

Der Trick würde nur das rein mechanische Rechnen ohne sich mit der Größe der Zahl zu beschäftigen unterstützen. Das wäre mir zu wenig bzw. zu wenig sinnbringend.

Ja, ich verstehe deinen Einwand. Und die Gefahr des mechanischen Tuns sehe ich auch.

Ehrlich gesagt habe ich auch noch keine belastbaren Erfahrungen damit, und auf lange Sicht geht es ja darum, dass die Kinder die zum Einmaleins gehörenden Divisionsaufgaben automatisiert lösen.

Ich weiß nur, dass meine leistungsschwächeren Kinder sich beim Automatisieren der Division schwer tun, den unbekannten Faktor bei der Umkehraufgabe zu suchen. Ich hege, wenn sie mit der Entscheidung für eine zu überprüfende Ratezahl lange brauchen, auch den Verdacht, dass sie im Kopf die Reihen durchgehen. Damit würde sich das gewünschte Gespür eher nicht aufbauen.

Um dem entgegenzuwirken, scheint mir das hier Vorgestellte ein Ansatz zu sein.

Ob meine aktuelle Euphorie dafür berechtigt ist und meinen bisherigen Primitivansatz toppt, es mangels besserer Ideen einfach mit der 5 zu probieren, muss die Praxis erweisen. Es könnte, genau so, wie du es beschreibst, sogar vorteilhaft sein, Erfahrungen mit ungünstigen Erstratezahlen zu machen. Kann aber auch einfach nur ein Umweg sein.

Nichts Genaues weiß ich nicht, solange ich keine praktischen Erfahrungen damit habe. Und die werde ich jetzt machen.

Ich dachte ursprünglich, du meintest die schriftliche Division.

Du meinst aber die Kopfrechenaufgaben. Den Schüler hilft dann oft die Frage statt 63: 9 zu fragen:

Wie oft geht die 9 in 63?

Dann bietet man ihnen so etwas wie eine Multiplikationsaufgabe an. So mache ich das auch bei der schriftlichen Division in den einzelnen Schritten.

Wie kommt man zu dem unbekannten Faktor bei der Umkehraufgabe?

Und zwar in exakt folgender Situation:

a) ich setze voraus, dass die Kinder das Einmaleins zumindest im Wesentlichen beherrschen (sonst ist das Dividieren reines Trial-and-Error oder stupides Durchgehen der Reihen, d.h. zählendes Rechnen)

b) es geht ausschließlich um die Divisionsaufgaben als Umkehraufgaben der Einmaleins-Aufgaben (also keine Aufgabenstellungen, für die schriftliches Dividieren relevant wäre)

c) die Kinder sehen die Divisionsaufgabe vor sich (das halte ich immer für wesentlich, um nicht-mathematische Defizite der Kinder nicht wirksam werden zu lassen), auch wenn die Kinder die Divisionsaufgabe 'im Kopf' lösen sollen (denn wirklich zu rechnen gibt es nichts).

Ich glaube, eine unterschiedliche Vorab-Bewertung kommt durch folgende Tatsache zustande:

Als LuL macht man die Erfahrung, dass, sobald die Kinder verstanden haben, dass die Divisionsaufgabe dadurch zu lösen ist, dass man den unbekannten Faktor bei der Umkehr-Multiplikationsaufgabe sucht, das Gros der Kinder keine Probleme hat (sofern sie das Einmaleins beherrschen).

Als Fördernder mache ich die Erfahrung, dass das bei den leistungsschwächeren Kindern zumindest längere Zeit nicht so ist, auch wenn sie das Einmaleins hinreichend gut beherrschen und das Umkehraufgaben-Prinzip verstanden haben und berücksichtigen. Sie tun sich schwer mit der Bestimmung des unbekannten Faktors, vermutlich weil sie mit dem vorgegebenen Umkehraufgabenergebnis nicht unmittelbar die dazu passenden möglichen Einmaleinsaufgaben assoziieren.

Meine Erfahrung ist, dass es Kinder gibt, die die Zahlraumvorstellung sofort haben, das 1x1 schnell lernen und denen das Jonglierden mit den Zahlen kein Problem bereitet. Sie nehmen Tricks an, setzen sie um und rechnen damit.

Die anderen Kinder haben Probleme mit dem Zahlraum und benötigen viele Brücken und Hilfen, Anschauungsmaterial schon gleich zu Beginn und viel mehr Übung.

Ich habe mir ein Montessori-Divisions-Brett zugelegt, leider kam es noch nicht zum Einsatz, weil ich inzwischen in anderen Fächern eingesetzt bin, aber es würde zumindest noch einmal anschaulich erklären, worum es geht und durch die gelegten Felder auch zum 1x1 verknüpfen. Dennoch glaube ich, dass sehr schwache Kinder auch die Materialien kaum mit den Operationen verknüpfen.

Ein alter SL meinte mal, es würde nichts helfen, die SuS müssten die Aufgaben schlicht immer wieder üben und auswendig lernen. Darauf würde ich micht zwar nicht beschränken, dennoch wäre es ein Ansatz zum Üben. Entweder gibt es Karten nur mit Divisionsaufgaben oder aber welche, auf denen auch jeweils die Umkeheraufgabe steht: 12:3=4, denn 4·3=12

Das würde ich zunächst mit den einfachen Aufgaben trainieren und dann die schwierigen hinzu nehmen.

Eine weitere Überlegung ist, ob die Kinder überhaupt verstehen, zu welchem 1x1 die Divisionsaufgabe gehört. Hast du das schon ausprobiert?

Palim

Ach ja: Solche Tricks finde ich sehr schön für die, die das 1x1 schon können und gerne mit Zahlen jonglieren. Die Aufgaben verpacke ich in Dialoge - 4t-Comics sei dank - und ein Kind behauptet dann den Trick, die anderen sind skeptisch. Es gilt dann zu überprüfen, wer richtig liegt und ob der Trick allgemein gültig ist.

Dafür sucht man immer wieder. An den Aufgaben finde ich DANN gut, dass mehrere Rechnoperationen gemischt werden und mehrere Schritte nacheinander ablaufen müssen, ohne dass der Überblick verloren geht, was für starke Schüler kein Problem sein sollte, und auch, dass sie mehrfach testen und im Anschluss begründen müssen. Erweitern kann man sogar mit höheren oder in diesem Fall niedrigeren Zahlen (geht es dann auch? warum nicht? was fällt auf?...)

"Ratezahl" würde ich es übrigens nicht nennen, damit verknüpfst du Rechnen mit Raten ... was gerade den schwächeren, die ohnehin alles schwierig finden, womöglich suggeriert, dass sie raten sollen, um auf ein Ergebnis zu kommen. Sie haben also wie beim Lotto kaum eine Chance.

Also ich möchte da deutlich unterscheiden:

1. Erarbeiten des Divisionsbegriffs

Das ist für mich persönlich kein Thema, weil ich als Fördernder da auf die gute Vorarbeit der Lehrerinnen vertrauen kann. Sehr selten muss ich auch hier Unterstützung leisten, aber das ist überhaupt kein Problem.

Ich nutze passende Rechengeschichten wie 'In einen Aufzug passen 6 Personen. 18 Personen wollen nach oben fahren. Wie oft muss der Aufzug fahren?' Solche Aufgaben übersetzen die Kinder problemlos und mit höchstens geringer Anleitung in die Aufgabe sowohl _ * 6 =18 (Multiplikations-Darstellung) als auch gleichzeitig 18 : 6 = (Divisionsdarstellung).

2. Automatisierung der praktischen Durchführung der Division

Ich sehe hier nur 3 Möglichkeiten. Falls jemand weitere sieht und gute Ideen hat: bitte melden!

a) Ein Kind hat wie wir Erwachsene ein gutes inneres Lexikon mit allen Einmaleins-Aufgaben. Wenn ein solches Kind die Aufgabe _ * 7 = 56 sieht, triggert das sofort, dass zum Ergebnis 56 nur die Aufgabe 8 * 7 = 56 passt.
In den seltenen Fällen, wo wie bei _ * 4 = 36 zwei Einmaleins-Aufgaben zum Ergebnis 36 passen, gleicht es die beiden Möglichkeiten über den vorgegebenen Faktor ab und hat die Lösung.
Hier wird nicht geraten und nicht gerechnet, sondern die Lösung aus dem gut funktionierendem inneren Einmaleins-Lexikon abgerufen.
Dieses Vorgehen betrifft die leistungsstärkere 'Hälfte' (nicht numerisch wörtlich zu nehmen) der Klasse. Mit diesen Kindern habe ich nicht zu tun.

b) Ein Kind geht bei _ * 7 = 56 die 7er-Reihe durch und zählt die Schritte bis zur 56. Das ist bei den allerersten Gehversuchen mit der Division das präferierte Vorgehen der leistungsschwächeren 'Hälfte' der Klasse und wird von manchen Lehrerinnen im Unterricht auch so thermatisiert.
Das ist m.E. eine absolute Notlösung, denn es ist bei vielen Aufgaben viel zu aufwendig und trägt nicht dazu bei, die Division zu automatisieren. Sehr leistungsschwache Kinder haben die Tendenz, bei dieser Notlösung zu bleiben. Sie werden damit nie zügig und sicher dividieren können.
Ich lehne das Reihen-Durchgehen deswegen rundweg ab.

c) Ein Kind rät bei _ *7 = 56 die Lösung, überprüft die Ratezahl und rät ggfs. neu. Das ist mein Weg, und er funktioniert durchaus gut, wobei ich immer vorab sicherstelle, dass das Einmaleins zumindest im Wesentlichen beherrscht wird. Sonst ist die Baustelle dort. Ich praktiziere das bereits mehrere Jahre. Man kann richtig zusehen, wie die Kinder relativ zügig von schlechten Ratern zu so guten Ratern werden, dass sie die Lösung sicher angeben können. Sie bauen nach und nach ein Gefühl für die Zahlzusammenhänge auf.

Mein Problem (eigentlich ist es ja ein Problemchen) ist, dass die Kinder sich mit den ersten Rateversuchen schwertun. Es dauert meist ewig, bis sie es mit einer Ratezahl versuchen, und ich hege den Verdacht, dass sie in dieser Zeit die betreffende Reihe durchgehen. Wenn ich sie erstmal soweit habe, dass sie mit Raten anfangen, geht es schnell aufwärts. Und meine bisherige 5 als erste Ratezahl, wenn ein Kind so gar keine Idee entwickelt, ist ja nicht gerade intelligent. So gesehen finde ich die vorgestellte Idee attraktiv, aber sie bedarf der Verifizierung. Ich habe schon mit vielen vorab attraktiven Ideen gearbeitet, die letztlich nicht funktioniert haben. Aber ich liebe es, Neues auszuprobieren, sofern es mindestens plausibel ist, und viele wunderschöne Erfolge verdanke ich genau diesem Verhalten.

Dass - im Gegensatz zu den anderen Grundrechenarten - das praktische Dividieren viel mit Raten zu tun hat, sieht man noch besser im 4. Schuljahr bei Aufgaben der schriftlichen Division wie 731 : 17.

Das Wort 'Ratezahl' finde ich aber auch sprachlich unschön, wenn auch begrifflich völlig korrekt. Hat jemand ein besseres Wort?

Selbst "Versuchs-Zahl" ist schöner, als Ratezahl ... weil man eben versucht, der Lösung näher zu kommen.

Davon abgesehen ist es genau das, was ysnp sagt: es geht nicht ums Raten, sondern draum, den Kinder mit dem Überschlagen u.a. Hilfsmittel an die Hand zu geben, wodurch sie den Zahlenraum besser überblicken lernen.

Das erreicht man nicht durch "Raten".

reden wir da aneinander vorbei. 

Wenn du so willst, geht es mir gerade darum, den Kindern einen Weg zu bieten, den Zahlenraum bezüglich der Division überblicken zu lernen. Bei meinem System geschieht das durch 'Trial-and-Error'. Bringt vorteilhaftere Emotionen rüber als 'Raten', ist aber dasselbe. Und funktioniert ja. Ich glaube, wenn ich von Anfang an von 'Trial-And-Error' gesprochen hätte, gäbe es diese emotionale Ablehnung des 'Rate-Verfahrens' gar nicht.

Ich frage mal ganz handfest andersrum konkret, weil ehrlich gesagt ysnps Beitrag im Unverbindlichen bleibt und du dich darauf beziehst:

Wie soll denn das 'Überschlagen u.a. Hilfsmittel' konkret aussehen, damit die Kinder, die es nicht von vorneherein können, 'den Zahlenraum überblicken können' und so die Division automatisieren?

Wo ist der in meinem letzten Post noch nicht unter a), b) c) besprochene Weg zum Automatisieren der Division?

Wie machst du das denn?

Danke für das Wort 'Versuchs-Zahl'. Finde ich auch besser. In Anbetracht der obigen Überlegungen kommt für mich jetzt auch Trial-und-Error-Zahl in Frage. Hört sich richtig prestigeträchtig an. 'Probierzahl' geht auch. Und gefällt mir bisher am besten. Habe ich jetzt im Thread-Titel geändert, und auf den entsprechenden Seiten meiner Homepage (womit auch das Eingangs-Bild angepasst ist). Deine 'Versuchs-Zahl' hat bei mir ein paar günstige Assoziationen geweckt.

Nachträgliche Korrektur:
Wie ich gerade sehe, spricht ysnp selbst von Versuch und Irrtum, und damit verstehe ich ihren Einwurf und deinen Bezug darauf überhaupt nicht mehr.

Scheint so, als handelt es sich bei alldem ausschließlich um eine emotionale Reaktion auf den offensichtlich bei Euch negativ besetzten Begriff 'Raten'. Sachlich scheinen wir alle auf derselben Linie zu sein. Zumindest habe ich noch keine handfesten konkreten Unterschiede in der Sache erkennen können.  

Aber wie fast alles hat auch diese Diskussion einen positiven Aspekt. Ich kann jetzt nicht ausschließen, dass der Begriff 'Raten', den ich gegenüber den Kindern bisher immer verwendet habe (weil er für mich nicht negativ besetzt ist), auch bei den Kindern hinderlich ist. Vielleicht spielt das eine Rolle bei ihrem anfänglichen Zögern, die Trial-And-Error-Methode anzuwenden. Das werde ich ja jetzt sehen.

Und bezüglich der Verwendung 'meiner' Probierzahl sehe ich jetzt auch klar.
Ich werde sie ausschließlich in der Urform nutzen ohne die Verbesserungsmöglichkeiten. Ich werde als erstes einige wenige Aufgaben wählen, bei denen die Probierzahl direkt zum Ergebnis führt und den Kindern das demonstrieren. Das sollte hochmotivierend sein. Ich werde dann aber zügig zu Aufgaben übergehen, bei denen die Probierzahl zu hoch ist. Dann lernen sie, sich an das Ergebnis heranzutasten und nicht blind der Probierzahl zu vertrauen. Insofern das bewährte Vorgehen wie früher, nur intelligenter und motivierender.

Aber mich würde doch interessieren, was du meinst mit 'Das erreicht man nicht durch Raten (alias 'Versuch und Irrtum').' Provokativ gefragt: Wie denn sonst? Durch welche operationalisierbaren Methoden? Eine Positiv-Aussage, die eine Alternative zu meinem Ansatz aufzeigt, kann hilfreich sein.