Hallo,

ich habe folgendes Problem...

Eine Nachhilfeschülerin hat nun in der 9. Klasse (RLP RS+ / RS-Zweig) Wurzeln durchgenommen.

Die erste Klassenarbeit zu diesem Thema musste wegen extrem schlechten Schnitt wiederholt werden...

Die Wiederholung der KA fiel bei meiner Schülerin auch nicht besser aus.

Das Problem, dass ich sehe:

Zu meiner Zeit (Sek.abschl. 1993) wurden in der 9. Klasse die Potenzen und Potenzgesetze, und erst im Anschluss daran die Wurzeln behandelt.

Nun musste ich mit Erstaunen feststellen, dass die Potenzgesetze erst im Buch der 10. Klasse zu finden sind...

Ich stelle mir nun die Frage, wie SuS berechnen sollen, das "w^7" geteilt durch "w³" ---> "w⁴" ist - wenn sie aber aufgrund der nicht behandelten Potenzgesetze gar nicht wissen können, dass hier bei der Multiplikation die Exponenten bei gleicher Basis addiert, und bei der Division subtrahiert werden müssen... ???

Das wäre doch ähnlich, wie wenn Grundschüler erst subtrahieren und dividieren lernen - noch bevor sie addieren und multiplizieren können ...

Kann mir jemand den Sinn der "neuen Reihenfolge" der Themen erklären ?

Oder hat hier der Mathelehrer etwas versäumt zu unterrichten ?

Viele Grüße aus dem verschneiten RLP

tannihanni

wenn man die Aufgabe definitionsgemäß als w*w*w*w*w*w*w durch w*w*w schreibt und kürzt. Wenn man das isoliert betrachtet scheint mir das nicht abwegig. Wenn man aber auf die Potenzgesetze abhebt, scheint es mir sinnvoll, diese für die Multiplikation und Division gemeinsam zu behandeln. 

Mir erscheint es sinnvoll, Wurzeln (und Potenzen) zuerst durchzunehmen und die Rechengesetze erst später - vielleicht auch nur, weil ich es so gewohnt bin...
Aber es gibt Argumente für diese Reihenfolge, denke ich:

Man lernt als SchülerIn irgendwann das Multiplizieren (als Zusammenfassung einer Summe gleicher Summanden) und später das Potenzieren (als Zusammenfassung eines Produkts gleicher Faktoren).
Man lernt auch die Quadratzahlen kennen (und auswendig).

Die (Quadrat-)Wurzel ergibt sich dann fast von selbst als Umkehrung des Quadrierens.
In der 9. Klasse stellt man fest, dass man auch aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, die (Quadrat-)Wurzel ziehen kann, und dass es auch zu anderen Potenzen Umkehrungen, also noch mehr Wurzeln, gibt.

Das ist schon ganz schön schwierig und (für manche zu) abstrakt! Mehr braucht es für Neuntklässler erstmal nicht.

Das Rechnen mit Potenzen (also die Potenzgesetze) sind unabhängig vom Wurzelbegriff. Sie müssen auch irgendwann gelernt werden - ob vorher oder nachher, ist in diesem Zusammenhang nicht entscheidend.

Wenn beides bekannt ist (der Begriff der Wurzeln und die Rechengesetze für Potenzen), dann kann man auch für Wurzeln solche Rechengesetze finden und verwenden.

Hat Deine Nachhilfeschülerin schon richtige Rechengesetze für Wurzeln im Unterricht gehabt? Oder wurde nur festgestellt, dass z.B. 

√27 = √(9*3) = √9 * √3 = 3 * √3 richtig ist, aber

√36 + √64 = √(36+64) = √100 nicht gilt?

Selbstverständlich müssen solche Zusammenhänge geklärt und geübt werden, aber dazu braucht man keine Potenzgesetze. 

Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen!  

ich große Schwierigkeiten mit dem Rechnen mit Wurzeln hatte, bis ich verstand, daß eine Wurzel nur eine andere Schreibweise einer Potenz darstellt. Dann war "der Drops gelutscht".

Darum sollte nach meiner Auffassung - egal was der Lehrplan sagt - zumindest der Zusammenhang erläutert werden, um für später einen Anker zu haben.

Ähnlich dumm finde ich es, daß in der 6. Klasse ein Bruch häufig nicht gleich auch als "Geteilt-Aufgabe" und umgekehrt dargestellt wird.

Das hilft den Kindern wirklich beim Verständnis der Brüche.

@tannihanni

Kannst du uns denn erklären, warum die "alte" Reihenfolge, Wurzeln erst nach Behandlung der Potenzgesetze zu behandeln sinnvoll sein soll?

Diese Forderung/Idee erschließt sich mir überhaupt nicht.

Fünftklässler bringen alle Voraussetzungen zum Behandeln der Potenzgesetze mit: Sie kennen (einfache) Potenzen, sie können Potenzen in Produkte umwandeln und darauf die Rechengesetze anwenden, um die Potenzgesetze herzuleiten/zu verstehen.

Sie sind aber nicht in der Lage die Potenzgesetze sicher anzuwenden, weil ihre Abstraktionsfähigkeit nicht hinreichend ausgeprägt ist um diese Rechengesetze sicher umzusetzen. Diese fehlende Abstraktionsfähigkeit ist auch in Klasse 9 oder 10 für etliche Schüler ein Problem. --> So spät wie möglich behandeln.

Die Einführung der Wurzeln erfolgt einerseits als Zahlbereichserweiterung (Wurzel zwei ist irrational) und andererseits als Umkehrung des Potenzieren. Für beide Aspekte benötigt man keinerlei Potenzgesetze. Das Rechnen mit Wurzeln (teilweises Wurzelziehen, Nenner rational machen, (geeignete) Wurzeln addieren) kann substanziell ohne Potenzgesetze erfolgen - einfache Probleme in Richtung der Potenzgesetze können über Produktumformung bereits behandelt werden (s.o.).

Nach Behandlung der Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten erfolgt üblicherweise die Erweiterung auf gebrochen Exponenten, also auf Wurzeln. Gemäß des BRUNNERschen Spiralprinzip werden hier die zuvor behandelten Wurzeln wiederholt und das Rechnen mit ihnen geübt.

Was unlogisch wäre, wenn man die Wurzelgesetze beim Rechnen mit Wurzeln vor den Potenzgesetzen behandelt. Sofern dies hier erfolgte, liegt es vermutlich am Lehrer, der sein altes Schema im Kopf hat und den "neuen" Plan ignoriert bzw, nicht hinreichend durchdacht hat. Dafür spricht ja auch die Wiederholung der KA - was i.d.R. kein Zeichen für Schülerfehlleistungen ist, sondern Probleme der Rahmenbedingungen kennzeichnet.

Mir erschließt es sich auch nicht.

Ich stelle mir nun die Frage, wie SuS berechnen sollen, das "w7" geteilt durch "w3" ---> "w4" ist - wenn sie aber aufgrund der nicht behandelten Potenzgesetze gar nicht wissen können, dass hier bei der Multiplikation die Exponenten bei gleicher Basis addiert, und bei der Division subtrahiert werden müssen... ???

Die  von Dir vorgeschlagene Verfahrensweise hat nichts mit dem Verständnis von Mathemathik zu tun. Potenzgesetze und deren Anwendung haben in den allermeisten Fällen etwas mit Auswendiglernen und dem schematischen Abarbeiten zu tun, dringt aber nicht in die mathematischen Strukturen ein. Heute geht man immer mehr dazu über, Grundvorstellungen zu entwickeln, weil ich alle Aufgaben auch digital lösen kann. Das war früher anders. Wer weiß, was w⁷ bedeutet, kann in der 9. Klasse problemlos

"w⁷" geteilt durch "w³"

lösen.

Ich kann mir aber auch gut vorstellen, dass das in der Schule des betreffenden Schülers nicht gut erklärt wurde und deshalb die großen Problem in der Klasse auftraten. Eigentlich ist das für eine 9. Klasse einfach.

Vielleicht kannst Du ja mal ein paar Beispielaufgaben nennen, denn dein Beispiel ist ja eine Potenz, (Es ist mir schon klar, dass ich jede Wurzel in eine Potenz umwandeln kann).

Es ist das alte Dilemma:

Wir unterrichten laut Lehrplan nach "Adam Ries

– Rechnung auff der linihen... ", also Rechnen,  und nicht die algebraische Darstellungsweise des Dezimalsystems, also Mathematik.

Daher auch der historische Aufbau: Wurzeln wurden vor den negativen und gebrochenen Potenzen entdeckt.

Leider wurde meines Wissens noch nie ausführlich wissenschaftlich untersucht, ob nicht ein mathematisches Herangehen für die Kinder weniger Probleme bereitet, also

- natürliche Zahlen mit +

- negative Zahlen als inverse Elemente [- wird zu +(-)]

- dann Multiplikation in Z

- Zahlbereichserweiterung auf Q (wieder mit inversem Element)

- Potenzen (incl. Wurzeln)

Aber hier haben halt 500 Jahre Tradition ihr Beharrungsvermögen.

Und als "Einzelkämpfer" hast du schon verloren. Eltern und Kollegen entrüsten sich über dein methodisch falsches Vorgehen (Ich habs einmal ausprobiert  ).

Das Ausgangsproblem liegt also m.E. in der "verkrüppelten" Einführung unseres Zahlsystems im Unterricht, das erst im Nachhinein bei den Lernenden einen systematischen Überblick des streng logischen Aufbaus ermöglicht.

rfalio

wenn ich dich recht verstehe, entwickelst du einen radikal neuen und "logisch" aufgebauten Lehrplan. Aber mit so mathematisch-sachlogischen Systeme ist das so eine Sache. Entscheidend ist ja, ob das Abstraktionsvermögen der Schüler mithält.

Und wiederum brauchen wir die vielfach getesteten Einstiegs- und Veranschaulichungspfade, damit die Schüler sich unter dem Bruch, der Wurzel, der Gleichung, dem Term, der Potenz etwas vorstellen können, womit sie dann intuitiv richtige Rechen- und Lösungswege hinkriegen.

Und zum dritten machen wir ja schon seit Jahrzehnten nicht mehr reine Mathematik, sondern verknüpfen mit Anwendungen. Für einen radikal neuen Aufbau ein vollständig neues System von Aufgaben zu entwickeln, bei jeder Aufgabe bis zum Ende zu durchdenken, welche Rechentechniken man hierfür braucht und welche schon gelernt wurden, das möchte ich erst mal sehen. Die Entwickler des Buches "Neue Wege" rund um Günther Schmidt haben ca. 10 Jahre gebraucht. Und bei den neuesten "Elementen der Math." ebenso wie beim vorletzten Lambacher-Schweizer hat es nicht überall geklappt.

deine Beschreibung der Lehrplanreihenfolge verwirrt mich. Ich kenne nur das Gymnasium in RLP, und die von dir beschriebene Reihenfolge ist so wie ich es in den 1980ern und seit 1996 kenne. War das früher in der Realschule anders angeordnet?

Der gedankliche Aufbau der Mittelstufenmathematik ist einfach: die Exponenten werden immer größer. Bis Klasse 8 nur lineare Gleichungen, dann in der 9.  Quadrate und deren Umkehrungen (Quadratwurzeln), in der 10. höhere Potenzen, das Rechnen damit und die Umkehrungen dazu.

aber es ist doch wohl nicht schwierig, kurz zu erläutern, dass die Wurzelgesetze das Gleiche sind wie die Potenzgesetze oder später die Logarithmengesetze, einer "Sonderform" der Wurzel! Ich erkläre meinen schülern allerdings nur 1 Potenzgesetz, was sie NICHT lernen sollen, sondern begreifen und sich immer wieder selbst herleiten: Der Exponent kommt aus der Rechenstufe tiefer, deshalb darf eine Rechenstufe tiefer verrechnet werden! Es betrifft also nur die 3 Rechnungen Potenz, Produkt und Bruch! Gleichzeitig ausgesagt, es können keine Potenzen oder Wurzeln in Grundrechnung verrechnet werden!