mathe beginnt erst beim buchstabenrechnen und beweisführung

der sinn von mathe ist es ja u.a. vorgänge in anderen bereichen zu beschreiben (z.b. kann man mathematisch berechnen, wie ampeln bei rushhour am sinnvollsten geschaltet werden, wie und wo der notausgang plaziert werden sollte ...) oder möglichkeiten vorzudenken und mathematisch zubeweisen, an denen andere wissenschaftlernoch nicht mal gedacht haben (gescheige den experimentiert)

so ist nur durch das vordenken in der mathematik so eine idee wie die chaostheorie überhaupt beurteilbar/beweisbar



oder ganz einfach formuliert:

1+1=2 (rechnen) - a+a=b (mathe)

das problem bei mathe und auch physikist halt,

jeder nutzt es, wendet es an,aber keinem ist es bewusst

(ich habe z.b. in meiner diplomarbeit ein algorithmus versucht zu erarbeiten, der das Rauschen bei Handys unterdrückt - damals noch sehr nervig - das war reine mathematik mit eine bisschen programmieren - was aber streng genommen ohne mathe auch nicht geht - guck euch mal unsere kleinen smilies an - alles mathe!!!!)

ich war der Meinung, a + a = 2a sei korrekt

nicht als geschwafel ...

wenn irgendwo so bewertert wird, wie es der herr professor erzählt, dann wohl eher an den hochschulen, sprich von seiner zunft.

dagegen lebte man in der mittelstufe und oberstufe wie im paradies. folgefehler, ansatz sowie balance zwischen geistiger leistung und handwerklichem vollzug standen im mittelpunkt.

null punkte wegen irgendeines kleinen fehlers kenne ich ausschließlich aus der unizeit von matheassistenten/physikassisten, die ihren hirnlosen, didaktisch unterirdischen mist an nebenfächlern auslassen mußten.


zudem: ohne grundlagen geht es nunmal nicht. meiner meinung nach müßte die gangart sogar wieder erheblich verschärft werden, es müßte wieder wesentlich mehr gewicht auf handrechnung, algebraische rechentechnik und aus dem kopf zu beherrschende arbeitsweisen gelegt werden.

ich kann niemandem die grundlagen der infinitesimalrechnung vermitteln, wenn der nicht solide rechenkenntnisse aus der mittelstufe besitzt. ansonsten sind nämlich die einfachsten erklärungen holz in den busch geschafft - jede notwendige umformung (reines handwerk!) wird zum problem, verzögert das vorankommen, lenkt vom eigentlichen ziel ab, kostet unnötig zeit für den ursprünglichen kern der sache.

mit anderen worten heißt das schlicht und ergreifend: üben, üben, üben. am besten mit der erfolgreichen methode aus der uni: stoff im unterricht vorstellen, zu jedem aspekt ein beispiel rechnen, die vertiefung - das intensive üben - per langzeithausaufgabe (belge, ausarbeitungen, ...) bei erhöhtem schwierigkeitsgrad nach hause verlagern.
als ausgleich leistungsanreize geben, bspw. garantierte prozentwerte von bekannten aufgaben (aufgaben aus dem übungsteil) in klassenarbeiten, so daß sich das üben auch irgendwie im materialistischen sinne lohnt. das gequatsche des eigenverantwortlichen studenten/schülers ist in jahrzehntelangem feldversuch widerlegt worden.
nur die wenigsten lassen sich mit idealistischen parolen motivieren.

außerdem ist es fragwürdig, ob das interesse für die mathematik steigen würde, wenn mehr blanke mathematik in der mittelstufe/oberstufe auftauchen würde. vermutlich wäre eher das gegenteil der fall, daß also die schüler noch mehr verschreckt würden. für viele ist es schon ein halber schock, daß die mathematik keine naturwissenschaft ist, wie vielerorts immer fälschlich behauptet wird - mathematik ist eine strukturwissenschaft, keine naturwissenschaft. und sehen die schüler dann, was reine mathematik bedeutet, verzerren sich die gesichter der einen hälfte noch fürchterlicher, während die andere hälfte kaum vom einschlafen abzuhalten ist. die verhaßten beweise tun dann ihr übriges.

den letzten punkt unterstütze ich als ingwissenschaftler sogar ausgesprochen. alles jenseits von "vollständiger induktion" sowie "wurzel 2 ist irrational" verursacht bei mir augenrollen und kopfschütteln. sollen sich damit die fachleute - die mathematiker also - herumschlagen. im zweifelsfalle arbeitet man als ingenieur/ naturwissenschaflter sowieso mit einem mathematiker zusammen.

ohne ausreichende kenntnisse bei funktionen, algebra/ algebraischem rechnen und geometrie verkommt der rest doch schnell zu einem esoterischen sprücheklopfen, dem der mangelhaft gebildete schüler von heute nicht im ansatz folgen kann. und nachvollziehen klappt ja auch nicht mehr, weil auch dafür die fundamente fehlen.



ahoi

Also,
meine Schüler rechnen Pyramiden aus.
Da ergeben jeweeils die unteren Steine die Summe der darüber liegenden.
Es gibt auch gute Schüler. Denen gab ich Pyramiden aus 6 Steinen (später mehr Steine). Nennen wir die unteren a, b und c.
Angegeben waren die Zahlen der beiden äußerden Steine in der unteren Reihe - also a und c - und der oberste STein.
Dann haben wir herausgefunden, dass die Zahl des oberen STeines = a+2b+c ist und man rückschließend auch die anderen STeine ausrechnen kann.
Die Schüler haben das mit den Buchstaben verstanden und hinterher viele schöne Pyramiden ausgerechnet, neu erdacht, riesige Zahlen eingesetzt.
Zugegeben, die Schüler sind besonders begabt, sie sind in der 2. Klasse.

Wie viele Variablen benötigt es denn, damit Mathematik beginnt?
Die Frage ist nun, ob es schon als abstrakt zu Bezeichnen ist, wenn die Aufgabe
2+_=7 heißt,
denn _ ist in dieser Aufgabe ja ein Platzhalter. Man könnte auch x oder y einsetzen, aber wenn man _ schreibt, kann man eben über diesen Platzhalter eine Zahl schreiben.
Fängt nicht da schon Mathematik an?
Ich denke schon ... und weiß auch, dass sich an einer Aufgabe wie 2+_=7 die Geister scheiden. Hier merkt man, wer zählt und wer die Gleichungen, den Mengenbegriff und die Zusammenhänge bereits versteht und nutzen kann.
Das ist nämlich nicht reines Handwerk - wer umformt, ohne es verstanden zu haben, rechnet nach Rezept, kann aber keine weiteren Aufgaben lösen.
Einen schönen Link dazu:
http://www.4teachers.de/url/2406

Palim

das ist doch spitzfindig. natürlich bedeutet der erwerb des handwerklichen in dem moment ein verständnis für ein problem.

man kann jedoch nicht automatisch "einfach so" jede aufgabenstellung lösen, wenn man nur das grundprinzip verstanden hat, ohne die dafür notwendigen schritte mehrfach geübt zu haben. vor allem in sachen geschwindigkeit mangelt es dann.
was nützt das beste verständnis, wenn für jede kleinigkeit erst eine große herleitung, überlegung etc. gemacht werden muß?

umformen ist schlicht und ergreifend handwerk - mittel zum zweck, um ein ziel zu erreichen. möglichst zackzack, so zügig als möglich.

und genau hier liegt der hund begraben. kinder, die gar nicht über die fertigkeiten verfügen, das ziel einer aufgabe erreichen zu können, erkennen (!) in der regel das ziel noch nichtmal. die kausale kette zum lösen einer aufgabe kann nicht im kopf aufgebaut werden:


aha! ich muß *dort* und *dort* hin.
*das* ist die ausgangssituation.
die ausdrücke sehen *folgendermaßen* aus.
zu beachten ist dabei noch *das* und *das* und *das* als besondere eigenschaft der terme.

daraus folgt: ich kann [muß] nun *das* und *das* tun, um zu meinem *dorthin* zu gelangen.
*unterwegs* muß ich aufpassen, *ob* ich *das* und *das* überhaupt tun *darf*.


wie man sieht nimmt hier die rechentechnik eine zentrale rolle ein - das problem kann nur überblickt werden, falls ich das *formale* wissen zur rechnerischen vorgehensweise beherrsche.
beherrsche ich das nicht, weiß ich nichtmal, wohin die reise hingehen soll!
diese wechselwirkung zwischen der rechenwissenschaft mathe und der strukturwissenschaft mathe wird völlig verkannt, wenn man immer nur einseitig sog. mathematisches denken einfordert - und am ende auf der anderen seite am besten noch CAS in den unterricht einsickern läßt, was dann den letzten funken geist aus den köpfen pustet.

der mathematikverdruß ist hausgemacht, weil niemand mehr den kindern vernünftig das rechnen beibringt. zudem wird der großteil der schüler früher oder später von der bildungspolitischen realität eingeholt: die realschule ist in deutschland die schule der breitenbildung. die mehrheit der schüler ergreift eine lehre, braucht also anwendungsbereite kenntnisse - rechenkenntnisse. leute, die mathematisch denken, aber nicht im ansatz mathematisch modellieren können, sind behinderte der schlimmsten sorte - unbrauchbar bis ins mark.
für die, die weiterführende schulen besuchen, ist die situation dagegen eher unkritisch. in der oberstufe beginnen die grundlagen der höheren mathematik, wo es für theoretische belange dann langsam interessant wird. im klartext für die kinder nochmal zwei jahre (kl. 11 & 12) bis zur abiprüfung, um wissen sacken lassen zu können. die, die dann immer noch interesse an mehr haben, nehmen ein mathematikstudium auf. das sind jedoch nie leute, die richtig schlecht rechnen. die mathematische denke kommt dagegen mit der zeit von ganz allein, sofern man sich für diese themen eben interessiert.

worauf der zitierte professor also abzielt, ist nonsens. den C4-herren scheint das viele geld in bezug auf realitätswahrnehmung zu schaden...

leute, die mathematisch denken, aber nicht im ansatz mathematisch modellieren können, sind behinderte der schlimmsten sorte - unbrauchbar bis ins mark.

Es ging nicht darum, Probleme zu lösen OHNE Rechnen zu üben.
Es geht darum, mathematisches Denken anschaulich werden zu lassen, Probleme zu konkretisieren und damit zu vereinfachen.
Rechnen alleine reicht genauso wenig wie Modellieren alleine und wer die Grundlagen nicht verstanden hat, wird nie modellieren können, weil er gar nicht weiß worum es geht.
Es nutzt nichts, Schüler Aufgaben umformen zu lassen, wenn sie nur nach Rezept die Aufgaben immer neu aufschreiben. Dann ist es eine Abschreibaufgabe - nichts weiter.

Wie hast du denn deinen Zahlbegriff aufgebaut???

Palim

du implizierst zuviel. niemand spricht davon, rechnen nicht anschaulich werden zu lassen. trotzdem ist der großteil der mittelstufe vor allem eben rechnen. niemand sprach zudem vom bloßem stupiden abklappern der kochrezepte.

den hinweis auf die affin linearen funktionen fand ich gar nicht schlecht. bis dahin ist das fach mathematik reines algebraisches rechnen. das naive mengenverständnis wird mit begriffen gefüttert, der zahlenraum wird erweitert, rechenarten werden eingeführt, gleichungen tauchen auf. mit den affin linearen funktionen wird das alles das erste mal in einen abtrakten, komplexen kontext gesetzt.



rechnen ist dabei die notwendige bedingung, um überhaupt irgendwie mathematik betreiben zu können. termstrukturen richtig - und vor allem schnell! - erkennen können, die entsprechenden regeln möglichst aus dem kopf sofort bei der hand haben (oder auch wissen, wo etwas steht), ein ziel ausmachen können, zu einem ziel über das notwendige umformen hinarbeiten. zügig und exakt.
das alles ist das nötige fundament für all die spielereien, die gerne in esoterischen parolen gefordert, verlangt, herbeikritisiert werden.

und ein intensives üben diverser techniken ist eben gerade nötig. lieber zuviel, denn zuwenig.
es wurde mit keinem wort gesagt, daß dies der einzige inhalt der mittelstufe mathematik sein soll, doch es ist ein wesentlicher teil.
ich betreibe genau das ziemlich streng -
das sind nachwirkungen des studiums. die prüfungen in HM waren ohne taschenrechner und ohne formelsammlung zu schreiben; eine ziemlich harte schule also. der matheunterricht zuvor war im grunde jedoch auch nicht anders. rechentechnik war reines mittel zum zweck - wer nicht mindestens solide kenntnisse besaß, verlor rasch den überblick. im ggs. zu heute kein problem, denn schon zuvor wurde im unterricht immer wieder erheblicher wert auf ordentliche handrechnung gelegt. dieser tage wird verstehen bei den schülern sofort zum problem, wenn nicht jedes detail angeschrieben wird -- eine enorme geistige unbeweglichkeit dem gesamtzusammenhang zu folgen.
es wird sich an details im konkreten rechengang hochgezogen, die vom kernproblem schlicht ablenken. anstatt also entweder soviel wissen im kopf zu haben, um auch einige nicht notierte zwischenschritte verkraften zu können bzw. sich später hinzusetzen, um unklare stellen durch eine eigene vollstände handrechnung zu klären, geht es kollektiv auf durchzug oder eine art 'buffer overflow' setzt ein.


ich brauche nur in meinen realschulhefter schauen, und sehe sofort, wie das niveau zu heute (nur 10 jahre später) gesunken ist. der taschenrechner ist überall, die große schnauze der kinder wegen des taschenrechners ist sogar noch verbreiteter als die maschine selbst ("warum soll ich denn das aus dem kopf bringen? nächstes jahr bekommen wir doch den taschenrechner.", "in drei jahren bekommen wir den taschenrechner, da brauch ich das doch nicht großartig lernen - tippe ich doch später sowieso nur noch ein...").

kochrezepte müssen zweifelsohne geübt werden, und zwar in dem maße, daß das wesentliche den schülern ins blut übergeht. aus dem effeff nennt man das.
zum beispiel wurzelgleichung sehen - zack, möglichst sofort wissen, was zu machen ist. ecken und kanten nicht vergessen (probe, da nichtäquivalente umformungen durchgeführt, ...).

so muß es sein, damit der kopf frei bleibt, um sich auf das eigentliche problem konzentrieren zu können, was als mathematisches modell eben bspw. eine wurzelgleichung benötigt.
das ist mit handwerk gemeint - und das fehlt zunehmend bei den kindern. selbst gute nachhilfeschüler bringen inzwischen eklatante grundlagenschwächen mit. das führt dann eben dazu, daß der eigentliche lösungsweg - wie gelange ich zum ergebnis der aufgabenstellung? - wie schon beschrieben nicht erkannt wird, da der primitivste umgang mit variablen, operatoren, termen, funktionen, geometrie nicht gegeben ist. solche selbstverständlichen dinge wie das große einmaleins, quadratzahlen bis 30, kubikzahlen bis 20, quadratwurzeln bis 1000 sind defacto gar nicht mehr im kopf vorhanden (uns wurde das noch eingeschärft). das erschwert das analysieren von ausdrücken ungemein; binomische formeln werden nicht erkannt, ausklammern klappt nicht, ausmultiplizieren auch nicht. alles muß ständig haarklein auch bei der x-ten wiederholung hingeschrieben werden. was das an zeit für das im grunde stumpfsinnige, mechanische rechnen kostet, welche viel dringender bei der lösung des mathematischen problems gebraucht wird.

genau an dieser schnittstelle zwischen rechnen und echter mathematik liegt der knackpunkt. rechnen ist eine notwendige voraussetzung, ohne die der rest schlichtweg sinnloses palaver wird.

daher auch die bemerkung, leute, die ihr mathematisches denken nicht hinschreiben und ggf. ausrechnen können (sprich modellieren), sind einfach unbrauchbar. das ist einfach so.
das entspricht einfach der alltäglichen erfahrung, wenn man eben nicht reine mathematik betreibt. reine mathematik betreiben nunmal nur mathematiker, und noch nichtmal dort alle (technomathematiker, angewandte mathematiker bspw. nicht). praktischer bezug, anwendungsorientiertes arbeiten ist also gefragt - das heißt in den meisten fällen eben "ich kann nicht nur ein problem erkennen&verstehen, sondern auch formulieren, einen ordentlichen ansatz finden, welchen ich auch zielführend zu einem ergebnis ausrechnen kann".

um überhaupt komplexere aufgabenstellungen bearbeiten zu können, muß ich rechnen können. da beißt die maus keinen faden ab. nur so wird ein schuh draus - nicht andersherum.

genau das wurde hier von anderen leuten doch aufgegriffen - statt die grundlagen wieder strenger abzufordern, quatscht jeder vom schmackhaft-machen, interessant-machen der mathematik. mehr denken. mehr in richtung kompetenz. auf dem papier klingt sowas wunderbar.
in der realität findet aber schon jetzt ein ausdünnen der voraussetzungen dafür unter ein ertragbares minimum statt. sprich: rechnen.


meine erfahrungen in der nachhilfe zeigen auch die absolute richtigkeit dieses ansatzes. es verbessern sich grundsätzlich nur die schüler nachhaltig, die zu einem erheblichen anteil - parallel zum eigentlichen stoff - ausführlich in rechentechnik getrimmt werden. sobald eine gewisse schwelle überschritten ist, was den umgang mit termen, funktionen, geometrie anbelangt, klappt es mit dem rest *auffallend* einfacher. es macht immer öfter an immer mehr stellen 'klick' - den kindern kommen die nötigen ideen; "hey, hier kann ich doch das und das mit dem ausdruck machen, dann komm dann dort und dort hin, und von da kann ich dann...".
jawoll. nicht anders geht es. das berühmte "scharfe hinsehen" kommt eben nicht von alleine.

als analogie eignet sich ein gewöhnliches, aufgeklebtes puzzle - das denken in zusammenhängen ist, so hofft man, jedem menschen in natürlichweise möglich: das auffinden, ordnen, zu-einander-in-verbindung-setzen und zusammenfügen der einzelnen puzzleteile. das mathematische denken ist also als gabe vorhanden, kommt ggf. von alleine mit zeit und ein bißchen pflege. prima.

das rechnen ist aber das große stück pappkarton, auf die die teile geklebt werden - die pappe trägt die teile.

der leim steht für die konkreten kochrezepte, für das handwerkszeug, also für die diversität an methoden beim umformen.
sowohl pappe, als auch leim werden heutzutage zunehmend vernachlässigt. ergo: es muß mehr gerechnet und geübt werden. das kann, wie erwähnt, sinnvollerweise zum größten teil zuhause erfolgen.

Wenn deine Angaben korrekt sind, bist du 25 Jahre alt, hast vermutlich jetzt gerade dein Studium der Ingenieurwissenschaften absolviert und arbeitest vielleicht jetzt im Schuldienst - wie auch immer -:

Was du von dir gibst, kommt mir schon ein wenig hochmütig daher. Und Hochmut kommt bekanntlich vor dem Fall!
Wenn du Lehrer bist, sollte dich in erster Linie interessieren, daß die dir Anvertrauten - und darum dreht sich die Veranstaltung "Schule" eigentlich - durch dich am Ende einer Sequenz besser sind als sie es ohne dich gewesen wären.

Das ist deine persönliche Herausforderung - und meine und die aller Kolleginnen und Kollegen, die jeden Tag aufs Neue in die Schule gehen, um zu unterrichten.

Was ich bei dir bisher noch sehr vermisse, ist hier erkennbares W I S S E N um Lernen als aktive Weltkonstruktion jedes einzelnen deiner Schüler, und zwar vor dem Hintergrund jedes einzelnen individuellen bisherigen Lebens.

Was ich von dir bisher lesen mußte, war nur der "Stumpf ist Trumpf"-Ansatz, dem im FESTIGEN des Gelernten sicher ein gewisser Platz gebührt, der aber, um in der von dir gewählten Sprachregelung zu bleiben, zwar auch notwendig, aber bei weitem nicht hinreichend ist.

Wie ist eigentlich deine Meinung zu anderen Sozialformen als denjenigen, die du selbst als Schüler kennen gelernt hast. An der Uni sind die Ingenieurwissenschaften noch lange nicht soweit.

Hast du einmal überlegt, wie sich möglicherweise die Randbedingungen der Schüler gegenüber deinen eigenen Erfahrungen als Schüler drastisch verändert haben könnten?
Ich sage dir das als (In Anlehnung an deinen nick:) Ing_74, der sich nach einem überwiegend erfolgreichen Arbeitsleben in der Wirtschaft den eigenen Wunsch erfüllt hat, Lehrer zu werden, 3 Jahre nach Ende des Studiums seiner Tochter wieder für 2 Semester an die Uni Münster gegangen ist, um Didaktik zu hören, der dann ein ganz normales Referendariat mit Kolleginnen und Kollegen absolviert hat, die alle um die 25 bis 30 Jahre jünger waren als er, der bisher eine ganze Menge neu über Schülerinnen und Schüler gelernt hat und dem es Spaß macht, seine Kenntnisse mit anderen zu teilen.

In der Schule geht es nicht darum, was ich alles weiß, sondern darum, mitzuhelfen, daß junge Menschen als Persönlichkeiten rundherum "gesellschaftsfähig" werden im wahrsten Sinne des Wortes.
Ausschließlich mit "Kommiß-Pädagogik", reinem Drill also, wird dieses Ziel wohl nie erreicht werden - das ist meine Überzeugung -.